2024年05月01日 第3回
今回の講義では，
固定点について理解できた．
固定点は，図式解法を行う式と傾きが1の直線の交点であるので，
直感的に理解することができた．
理解できたのであればとてもよろしいと思います．
固定点が安定か不安定かが何によって決まっているのかが気になった．
観測結果がカオスだった時はその後どのような考察をするのか，
どのように生かせるのかも実例があれば知りたいと思う．
実際の世界ではカオス的観測のほうが圧倒的に多いと思うので．
安定・不安定については次回お話しします．
xt+1=axt(1-xt)において，
aの値だけで振る舞いがあれほど変わるとは思っていなかったので，
とても驚いた．
確かに驚きですね．
周期解について, aを4に近づけていくと2^n乗周期解が得られましたが,
例えば3周期解など2^n乗以外の周期解はないのか気になりました.
これは単なる直感でしかありませんが,
a>3の時の図式解法での動きが0でない方の固定点を囲うようにしてぐるぐる回る動きなので,
それによって固定点の左右に一対ずつ周期解が現れる,
というのが2^n乗に関わりがあるのかもしれないとも感じました.
良いコメントですね．素晴らしいですね．次回触れますね．
差分方程式が直線の時よりも曲線の時のほうが図式解法で表した時の形が面白くなった
確かに面白いですね．
図式解法について，
十分理解することができました．
今後の授業も楽しみです．
理解できて良かったt思います．
ロジスティック回帰分析について知ることができたが，
いまいち現実世界への応用例がピンとこなかったです
ロジスティック写像ですね．
今回は前回学習した図式解法を用いて，
ロジスティック写像における振る舞いを調べることができた．
カオス的な振る舞いは不規則な振動で発散も減衰もしない，
固定値も無いという点で，
確かに無秩序だとおもったが，
その背後にはパラメータaの値を増やしていくにつれて，
周期が増えていき，
やがて無限の周期になるのは，
秩序立った美しいもので面白いなと思った．
良いコメントだと思います．秩序があるというのはその通りで，
講義でももう少ししたら触れることができると思います．
固定点や周期解の定義や求める方法などを理解することができた．
よろしいと思います．
ノイズが混じったデータだと思われていたものが，
実はカオス的なふるまいをしていた可能性があることを講義で聞いて，
カオスについて学ぶことの必要性，面白さを知った．
安定，不安定とはどういうことかを次回注目して受講したい．
その通りですね．振舞いとしていろいろな可能性があるということが大切ですね．
図式解析が手作業で解析をする際に非常に便利であるとわかった
うまくいったようで良かったと思います．
カオスなふるまいをする差分方程式は不規則な振動をし，
一定の値を取らないため，
次に取りうる値を予測することは不可能なのでしょうか?
逆に周期がないため今まで現れていない値から
一番この値が現れる可能性が高いみたいな予測が可能なのでしょうか．
良いコメントですね．予測可能性についても講義で紹介することができます．
ロジスティック写像の振舞いや固定点と周期解の概念，
カオスの定義について理解できました．
講義内で先生はカオスの重要な点として，
確率論やノイズとしか説明できなかった事象を
カオスで説明できる可能性についてお話されていたと思います．
実際に先生が経験した中で「え！これってカオスで説明できたのか！？」
と驚くような時系列データなどはありましたでしょうか？
（ちなみにこの学年の授業内のリアクションの薄さは
別講義で立川先生もおっしゃっていました）
良いコメントですね．次回触れたいとおもいます．
固定点と周期解についてはよくわかったが，
安定不安定に関してはまだまだ分からないので
次回の説明をしっかり聞こうと思います．
安定・不安定については次回再度お話しします．
決定論的数式は未来の値を全て確定するのにも関わらず，
一定の値に定まらないカオスになる可能性があるのは興味深いと感じた．
良いコメントですね．この学年，すばらしい．
周期解が2の指数乗であり，
固定点が2の0乗である1周期解と捉えることができることは衝撃を受けた
よろしいと思います．
実際に演習を授業内に行ってくださるおかげで
授業内容をより深く理解できる気がしました．
今後も続けてくださるととても嬉しいです．
これからは自分でも手をうごかしてみるようにすると良いと思います．
今回の授業で，
ロジスティック写像のa=3.3(2周期解)，
a=3.52(4周期解)，
a=3.56(8周期解)，
a=3.566(16周期解)を扱いましたが，
このまま周期数が増加していくと，
a=3.6あたりで周期数が無限に到達しそうな気がするのですが，
予想される周期数の限界から先もずっと周期数の増加が続いて最終的にa=4.0に至るのか，
予想される周期数の限界に到達するとずっとa=4.0のような振舞いをするのか，
それとも異なる振舞いをするのでしょうか．
こちらも良いコメントですね．今年のB3の皆さんは素晴らしい．
次回触れましょう．
固定点と周期解というものが図形解析を使うと出てくるということが面白いと思った．
固定点には安定しているものと不安定なものがあるということがわかった．
こうなる時の条件などをこれから学んでいきたい．
条件については次回お話しできると思います．
新たに固定点，周期解の定義を学んだ．
また，ロジスティック写像でaの値が大きくなればなるほど，
周期解が増えていくことが分かり，
以前はa=4の場合の振舞いでは周期は存在しないと理解していたが，
今日の講義を通じて，
周期が∞であることを知った．
周期が存在しないということと無限大であるということは同じと考えてもらって良いです．
カオス的な振る舞いは面白いと思いました
そうですね．面白いですよね．
ロジスティック写像において，
a=4の時に周期が無限になるということを
どうやって証明したのかが気になった．
次回，あるいは，その次にお話しします．証明ではなくて， 定性的に考える方法にしますが．
今日の講義では，
図式解法を用いてロジスティック写像が，
実際にどのような振る舞いをするのか確認することができた．
また，a=4としたときの非周期的な振る舞いは，
乱数の生成などに利用できるのではないかと思った．
良いコメントですね．今年のB3は素晴らしい．
ロジスティック写像のような非線形力学系を疑似乱数に用いることができます．
例えば，
Shiki Kanamaru, Yutaka Shimada, Kantaro Fujiwara, and
Tohru Ikeguchi,
Performance evaluation of chaotic random numbers
generated from responses of integer logistic maps,
Nonlinear Theory and Its Applications,
IEICE, Vol.12, No.3, pp. 489-499, 2021.
をみてもらうと参考になると思います．
複雑な振る舞いを示したものはノイズであると判断してしまいがちだが，
ノイズであるとは限らないということが分かった．
その通りです．重要ですよね．
図式解法を用いた線形な差分方程式についての理解がより深まりました．
ありがとうございました．
よろしいと思います．
x(t+1)=ax(t)(1-x(t))のaの値を変えることで，
出現する周期解の数が変化するのは興味深かった．
aを連続的に変化させたとき周期解の数がどのように変化するのか，
どのようなaのときに周期解の数が増えるのかが気になった．
次回以降お話できると思います．
カオスと言う言葉が情報工学のなかで出てくるとはおもいませんでした．
そうですか．．．逆に，情報工学って何でしょうかね．
安定性と不安定性が何によって決まるのか，
a=4の時に安定な周期解がなくなる理由が気になったので次回も楽しみです．
楽しみにしてください．
解の安定や不安定の概念が難しいと感じました．
また，ロジスティクス写像の周期が2のn乗が例になっていたが
周期3や他のがあるか気になりました．
良いコメントですね．次回触れます．
従来の分析ではノイズやヒューマンエラーとして見過ごされてきた結果が，
カオスの概念の導入により，
解釈できるようになったと分かった．
決定論的なものが予測不可能であることはとても不思議に感じた．
風が吹けば桶屋が儲かるということわざがあるが，
それが関係あるのかどうかも少し気になった．
こちらも良いコメントですね．次回触れますが，今年のB3の皆さんは優秀ですね．
講義ありがとうございました．
固定点の周期解について，
一見するととても複雑なように見えましたが，
割とシンプルで，
内容がすんなり入ってきた．
確かにカオスは面白い
素晴らしい．この調子でお願いします．
周期解について，
授業では2周期解，4周期解と偶数の周期解が紹介されてましたが，
3周期解や5周期解のような奇数の周期解はあるのでしょうか？
良いコメントですね．存在しますが，次回以降お話しすることになります．
ノイズだと思われていたものがカオスの発見で
理論的に説明できるようになったのは確かに大発見であると感じます．
その一方で本物のノイズとどのようにして区別するか興味を抱きました．
こちらも良いコメントですね．次回触れたいと思います．
a=4のロジスティック写像について，
一定の値に収束しないことが1つの特徴であるということが分かったが，
任意のtについて値が一定に定まらないという特徴は様々な分野
(例えば，情報の暗号化など)に対して，
"乱数"のような扱いで応用が可能なのではないかと疑問に感じた．
乱数についてはその通りです．
ロジスティック写像のような非線形力学系を疑似乱数に用いることができます．
例えば，
Shiki Kanamaru, Yutaka Shimada, Kantaro Fujiwara, and
Tohru Ikeguchi,
Performance evaluation of chaotic random numbers
generated from responses of integer logistic maps,
Nonlinear Theory and Its Applications,
IEICE, Vol.12, No.3, pp. 489-499, 2021.
をみてもらうと参考になると思います．
線形な差分方程式の振る舞いが，
a<-1, -1<a<0, 0<a<1, 1<a の4通り
(a=-1,0,1の場合は確率0なので除外)で分かれることが
図式的解法を通して理解できた．
非線形なロジスティック関数の場合に
カオスとなる条件等について興味が湧いた．
次回触れることができると思います．
今回の講義は，
図式解法による固定点の求め方を学ぶことができた．
固定点が安定する点と不安定の点になるときの違いが
どのような場合なのかが気になった．
条件については次回お話ししますね．
モデルの振る舞いをグラフで表すことで
固定点の安定・不安定がわかりやすくなり，
観察結果を図示することの重要さを実感した．
その通りです．その場で図を描いてみることも大切ですね．
だから手書きが重要です．
今回の授業では，
ロジステック写像と図式解法について，
いくつかの具体例を通して理解を深めることができました．
同じ固定点の個数を持つ場合でも，
不安定か安定かによって振る舞いが変わることに驚くとともに，
安定か不安定かがどのように決まるのかがわからず不思議だったので，
来週の授業が楽しみです．
楽しみにしていてください．
ロジスティック写像でaが4.0より大きくなったとき，
同じカオスの括りでも違う挙動を示すのか気になった．
すでに講義でお伝えしたように，ロジスティック写像の場合，
パラメータaの範囲は，(-2<)a<=4 です．次回触れますね．
今回の授業で，図式解法を完璧にマスターできた気がする．
ロジスティック写像に関しては，
aの値を様々にした時，
図式解法により様々な軌跡を描き
視覚的にも分かりやすく理解することが出来た．
同じ図形で初期値を様々にした時に
どのような振る舞いをするのか気になってやってみた所，
全て同じ値にたどり着き，
初期値に依存しないことを理解した．
マスターできたのはとても良いですね．
今まで規則がわからず，
雑音が入ったとまとめていたものを，
カオスを学ぶことによって，
式で表せる可能性があると分かり，
とても興味が湧いた．
aの値について，
各周期の範囲はあるのでしょうか？
加えてどういった条件で2周期解から
4周期解などに変わったりするのでしょうか？
aの値によって応答は変わります．次回説明します．
本日の講義では，
想像していたより数学要素がたくさんあり驚きました．
そこまで数学が得意でないため，
少し不安になりました．
頑張りたいと思います．
数学といってもそれほど難しいものではなくて，
中学レベルです．
カオスを見つけるのはどうすればよいか気になりました．
十分に大きな回数（n回）写像した時点でカオスとみなせても，
n+1回目の時点で周期性が見つかってしまえば，
そのx_n全体はカオスだと言えないのではないかと思いました．
カオスの判定にどれくらいの数のx_nを求める必要があるのか知りたいです．
良いコメントですね．次回触れたいと思います．
本講義において，
ロジスティック写像の周期解が2^nになっていた理由はありますか？
良いコメントですね．もちろんありますよ．
ロジスティック写像が資料を見ただけでは
よくわからなかったが講義を聞いたら多少わかってきた．
しかし，まだどういったものなのかを理解できてないので復習します
分からないところは質問してください．
「収束する」という言葉のイメージが，
図式解法で安定した固定点にたどり着くことであったので，
不安定な固定点であっても
その値に収束するという言い方をすることには少し違和感があった．
不安定な固定点であってもその値に収束するとは言っていませんが，
次回改めて説明しましょう．
数学の話でカオスというワードは耳にしたことがあったけど，
「世の中の物事は大抵ぐちゃぐちゃなのに，
なぜカオスは特別に扱われるのだろう」と思っていた．
今日ロジスティック写像のカオスに触れて，
周期がどんどん大きくなって無限大になる様子や，
決定論的にカオスが生み出される不思議さ，
安定不安定の概念が少し分かって，
カオスの面白さの一端を感じ取れたと思う．
素晴らしい．感じてくれたのであれば良かったと思います．
今日の講義の中で，
図式解法の手順はまだ理解しにくいと思います．
自習したいため，もし良ければ，
参考書など教えていただきたいと思います．
図式解法の手順は前回の講義で説明してあります．
分からないところは質問しにきてください．
ロジスティック写像の図式解法で，
値が収束せずに周期的な動きをするのはなんとなく予想していたが，
a=4のときにカオスな動きをするのは予想外で，
意表を突かれた．
意表を疲れましたか．．．
図式解法を用いた差分方程式の解の振る舞いについて，
固定点や周期を含めて理解することができました．
よろしいと思います．
カオスが何なのかについて理解できた．
図式解法にも慣れてきたので，
演習課題を通してさらに知識を深めたい．
そうですね．まずは問題を解いてみると良いと思います．
図式解法だと変化が目で見てわかるのがとても面白いと思いました．
一部の授業で点の動きを見たことはありますが，
あまり自分で点の動きを図表現したことがないのでやってみたいです．
自分でやってみるというのは重要なことですね．
aの値によってロジスティック写像の振る舞いが大きく変わることがわかった．
課題0の問題で，
非線形のロジスティック写像の関数を設定するのが難しかったです．
課題0ではロジスティック写像の話はしていないですね．
ここでは，線形・非線形について話しただけで，具体的な写像のことは話していません．
来年から研究が始まるので，
研究の結果に規則性が見つけられなかった際に，
一旦その結果がカオスかどうか確かめることが大事だと思った．
そうですね．そのように考えてみると幅が広がりますね．
前回の講義でやったaの値を変化させた時の
線形な差分方程式の振る舞いと同様に
非線形な差分方程式にもaの値によって振る舞い方が異なることがわかった．
特に，a=4の時，
不規則で周期性のない状態をカオスということを初めて知った．
理解してくれているようですね．
図式解法の演習でa=3.3やa=3.52のときの振る舞いが
周期的で綺麗なプロットとなって感動しました．
固定点の安定性，不安定性の決まり方が気になったので
次回の講義が楽しみになりました．
また，日常で使用している「カオス」という言葉の意味と
講義で扱った言葉の意味が全然違うと思いました．
そうですね．意味は違いますが，これも次回以降で触れることができますね．
a=4のときの複雑な振る舞いはもちろん面白いですが，
a=3.5のときなどの周期的な振る舞いも興味深いと思いました．
どのあたりが興味深いですか？
本日も講義ありがとうございました．
ロジスティック写像についてある程度わかりました．
図式解法を解く際にフリーハンドでやったことで
2周期解になるはずが収束してしまいました．
暇なときに定規を使って解いてみたいと思います．
暇なときには他のことをやったほうがよいですね．
決定論てきなものが不規則な振動をすることが不思議でしたが，
どちらも交点が不安定であるのかと腑に落ちました．
交点が固定点になるということが連立方程式を一つの式にしたら
固定点を表す式になるからと理解できたときにすっきりしました．
固定点の安定不安定をどのように見分けるのか早く知りたいので次回も楽しみです．
安定性については次回話します．
講義ありがとうございました.
手書きで固定点を求める演習の時間があったと思うのですが,
4点以上からなかなかうまくいかなかったです.
8本なんて8個固定点があることが認識できなかった.
答えを見て綺麗に現れていることに感動した.
そうですね．ちょっと難しいかもしれません．